Теория узлов и зацеплений является центральной, ключевой составляющей топологии малых размерностей. Эта теория имеет богатейшую историю и проникает во множество областей математики, в физику, химию, биологию. В теории узлов с потрясающей частотой происходят революции, открытия новых подходов, связей и точек зрения, во многом переворачивающих установившиеся до этого представления. При этом, как это ни удивительно, начать занятия теорией узлов и совершить там серьезное открытие (и даже — очередную революцию) до сих пор можно практически без подготовки — не тратя времени на освоение уже накопленного объема знаний. Посвятить хотя бы несколько дней своего творчества теории узлов должен каждый математик — просто для того, чтобы проверить, не совершит ли какая-то простая идея, представляющаяся ему самому элементарной и естественной, очередной переворот в этой теории (а может быть, и в нескольких смежных с ней).
Мы начнём с самого главного — дадим определение зацепления как изотопического класса набора вложенных в трехмерное пространство окружностей.
Содержание:
Мы перейдем от непрерывного и трехмерного мышления к дискретному и двумерному. Кроме того, мы обсудим некоторые способы оценивать сложность узлов, сравнивая различные характеристики.
Содержание:
Мы проследим связь между зацеплениями и косами, предъявив алгоритм построения зацепления по данной на вход косе. Кроме того, мы обсудим, как связаны косы, дающие одно и тоже зацепление в результате этого алгоритма, а также познакомимся с другими универсальными способами задания узлов и зацеплений.
Содержание:
Мы обратимся к результату, позволяющему перевести исследование зацеплений с непрерывного языка на дискретный, за что и заслуживающему звание основной теоремы теории узлов.
§4 Основная теорема теории узлов: теорема Райдемастера
Содержание:
Мы изучим три разных воплощения одного ключевого инварианта двукомпонентных зацеплений, проникающего глубоко в основу самых разных областей математики, — коэффициента зацепления. В качестве информационного сопровождения мы изложим введение в теорию поверхностей и обсудим концепцию вложенных поверхностей, затягивающих зацепления.
Содержание:
Мы познакомимся с новым типом инвариантов, которые сопоставляют узлам и зацеплениям многочлены, и построим один из наиболее знаменитых из них.
Содержание:
Мы увидим ключевые примеры трехмерных многообразий и научимся правильно их воспринимать. Ключевым интересующим нас многообразием окажется трехмерная сфера, на которую мы научимся смотреть тремя разными способами. Один из них приведет нас к полному осознанию трехмерного многообразия вида “дополнение узла”. А кроме того мы кратко обсудим альтернативные теории узлов, развиваемые в других трехмерных многообразиях.
Содержание:
Перед началом погружения в каталог материалов обратите внимание на инструкции: