Содержание раздела:
Поговорим немного о трёхмерных многообразиях и том, как их можно было бы видеть (и класть в карман).
Картинки ниже иллюстрируют трехмерные многообразия, полученные из замкнутых (так называются многообразия без края) ориентируемых поверхностей, стандартно вложенных в трехмерное пространство, путем заполнения одной из двух частей, на которые они делят все пространство. Эти поверхности и станут краем создаваемых трехмерных многообразий.
Трехмерный шар. Край — сфера
Полноторий. Край — тор. Получается умножением диска на окружность.
Шар с двумя ручками. Край — сфера с двумя ручками.
Шар с тремя ручками. Край — сфера с тремя ручками.Сфера с тремя ручками — нет точек края
Утолщенная сфера — сфера, умноженная на отрезок. Край — две сферы.
Трёхмерное пространство $\mathbb{R}^3$. В нем мы занимаемся теорией узлов.
Из двумерного пространства $\mathbb{R}^2$ мы в свое время научились делать сферу $S^2$ путем добавления одной точки на бесконечности.
Точно таким же образом можно получить ещё одно примечательное трехмерное многообразие — добавить одну точку на бесконечности, но уже к трехмерному пространству $\mathbb{R}^3$. Полученное пространство называется трёхмерная сфера.
Замечание. Теория узлов в $\mathbb{R}^3$ и в $S^3$ совпадает.
Вопрос: Но как выглядит трехмерная сфера $S^3$? Как реально её представить?