Содержание раздела:

Предположим, что у нас есть два некоторых геометрических зацепления. По определению они представляют одно и то же зацепление тогда и только тогда, когда существует связывающая их изотопия, переводящая одно в другое.

<aside> ❔ Но как понять, когда она существует?

</aside>

Этот вопрос можно прочесть двумя разными способами:

1. Как понять, когда изотопия есть, а когда её нет — иначе говоря, как различать зацепления? И этому вопросу будет посвящена практически вся оставшаяся часть раздела “Теория узлов”, хотя в некотором смысле мы дадим полный ответ на этот вопрос уже к концу данного параграфа.
2. Как понять саму изотопию, когда мы знаем, что она действительно существует? И об этом мы поговорим сейчас.

Итак пусть данные нам два геометрических зацепления действительно изотопны. Дело в том, что связывающая их изотопия может быть, вообще говоря, очень и очень сложным объектом, даже просто визуально уследить за её “перетеканием” — не самая очевидная задача, не говоря о том, чтобы явно аккуратно описать движение всех точек трехмерного пространства.

Такая неприступность произвольной изотопии для описания базируется в основном на слишком уж высоком уровне её возможностей. В самом деле изотопия может намного больше, чем “на самом деле” требуется, чтобы перевести одно зацепление в другое, как мы увидим уже совсем скоро.

Overqualified.

Overqualified.

И вместо того, чтобы приручать и понимать сложные изотопии, можно попробовать просто ограничить их возможности — заставить их быть простыми не потеряв своей сути, отбросить все лишнее.

Покидая трехмерность и плавность

Мы уже видим несколько шагов на Пути комбинаторного дауншифта, духом которого пронизана существенная часть маломерной топологии, которую мы с вами изучим. Итак, попробуем упростить изотопии:

⇕ (П)

Они переводятся друг в друга конечной последовательностью элементарных изотопий | | Диаграмматизация | Любое ручное зацепление имеет плоскую регулярную полигональную диаграмму | Две диаграммы задают одно и тоже зацепление

**⇕ (Д)

(???)** |

Напоминание об элементарной изотопии. Теорема (П) — последняя теорема из первого параграфа.

Диаграмматизация

1. Любое ручное зацепление имеет плоскую регулярную полигональную диаграмму
2. Теорема (Д): Две такие диаграммы представляют одно и тоже зацепление тогда и только тогда, когда (они переводятся друг в друга конечной последовательностью элементарных изотопий диаграмм) = (???)

Где под элементарной изотопией диаграммы мы понимаем следующее: