Содержание раздела:

Коэффициент зацепления — это инвариант двухкомпонентного зацепления, описывающий суммарное количество раз, которое одна компонента “зацепляется” за другую.

Краткое содержание. В простейшем случае, если одна из кривых лежит в некоторой плоскости, то коэффициент зацепления равен, грубо говоря, суммарному количеству раз, которое вторая кривая протыкает плоскую область, ограниченную первой кривой:

Коэффициент зацепления 0

Коэффициент зацепления 1

Коэффициент зацепления 2

Коэффициент зацепления 3

Точнее, в определении коэффициента зацепления протыкания необходимо учитывать со знаком: приходящие с одной из сторон плоской области подсчитываются со знаком плюс, а приходящие с другой — со знаком минус. Таким образом, для первоначального определения коэффициента зацепления требуется ориентация — указание направления на каждой из двух компонент.

Коэффициент зацепления -1

Коэффициент зацепления -2

С целью формализовать данную идею мы дадим альтернативное комбинаторное определение и докажем его корректность, а затем уже установим связь с “протыканиями”.

Коэффициент зацепления в терминах диаграмм

Определение. Пусть $L = (L_1,L_2)$ — ориентированное двухкомпонентное зацепление. Выберем его диаграмму. С помощью ориентации её перекрёстки можно разбить на два типа: положительные и отрицательные:

Коэффициент зацепления, по определению, равен половине разности между количеством $P$ положительных перекрёстков, в которых фигурируют две различные компоненты зацепления, и количеством $N$ отрицательных таких перекрёстков:

$$ {\rm lk}(L_1,L_2) = \frac{P-N}{2}. $$

Коэффициент зацепления возможно определить и для неориентированных зацеплений. Поскольку при обращении ориентации одной из компонент типы перекрёстков, фигурирующих в определении чисел $P$ и $N,$ меняются местами, сам коэффициент зацепления меняет свой знак, и, таким образом, его абсолютное значение является корректно определённой характеристикой неориентированных двухкомпонентных зацеплений.

Лемма. Значение коэффициента зацепления не зависит от выбора диаграммы.

Доказательство. Согласно теореме Рейдемейстера, достаточно проверить, что его значение сохраняется при трёх движениях Рейдемейстера:

1. При первом движении множество перекрёстков, на которых фигурируют две различные компоненты зацепления, просто-напросто не изменяется.
2. При втором движении могут лишь добавиться (или исчезнуть) два перекрёстка, типы которых обязательно противоположны друг к другу.
3. При третьем движении набор перекрёстков и их типов, использующихся при вычислении, сохраняется (см. рисунок).

Свойство инвариантности позволяет заключить, что если двухкомпонентное зацепление является разводимым (изотопией можно развести его компоненты на две части, лежащие по разные стороны от некоторой плоскости), то его коэффициент зацепления равен нулю. Это связано с тем, что разводимое зацепление, по определению, имеет диаграмму, на которой две компоненты не имеют общих перекрёстков.

Стоит отметить, что обратное утверждение в общем случае неверно — зацепление Уайтхеда (на рисунке) имеет нулевой коэффициент зацепления, но неразводимо (это неочевидно и требует других инвариантов).

Коэффициент зацепления равен 0

Наконец, сформулируем анонсированную связь с “протыканием”:

<aside> 🔑 Коэффициент зацепления вычислим через поверхности, ограничивающие узел.

</aside>