Выделим некоторые типы наиболее часто встречающихся кос.
Определение. Коса $\Delta_{n}$ из $n$ нитей, получающаяся из тривиальной косы заматыванием на $180^\circ,$ называется фундаментальной, полуоборотом $n$ нитей и элементом Гарсайда.
Коса $\Delta_{n}$ имеет два стандартных изображения:
Полуоборот 6 нитей
Задача 1. Постройте изотопию между двумя данными изображениями.
Такую изотопность можно проиллюстрировать с помощью ленточки:
Далее, опишем ещё один наиболее часто встречающийся тип кос.
Определение. Квадрат $\Delta_n^2$ фундаментальной косы называется центральной косой или полным оборотом $n$ нитей.
Центральная коса примечательна тем, что для любой косы $\beta \in B_{n}$ выполняется соотношение
$$ \Delta _{n}^{2}\cdot \beta =\beta \cdot \Delta _{n}^{2}. $$
В теории групп данное свойство называется центральностью. Иллюстрация:
Коса $\beta\Delta _{n}^{2}$ получается из косы $\Delta _{n}^{2}\beta$ прокручиванием косы $\beta$ вокруг своей оси на угол $2\pi.$
Загадка 2. Существует ли коса $\beta,$ из которой можно извлечь корень $\sqrt[4]{\beta}$ четвёртой степени двумя разными способами?
Исследовательский проект 1. ****Описать центр группы кос.
Следующий раздел: