Содержание раздела:
Чтобы привыкнуть к работе с косами, посмотрим на практике, что с ними можно делать.
Наличие групповой структуры позволяет рассматривать внутренние автоморфизмы кос.
Напомним, что сопряжением косой $\beta\in B_n$ называется функция $B_n \to B_n,$ заданная правилом $\alpha \mapsto \beta\alpha\beta^{-1}.$
Сопряженные косы
Анонс. Сопряжения кос важны тем, что они играют ключевую роль в соответствии между теорией кос и теорией узлов, задаваемой так называемой теоремой Александера — Маркова.
Замыкание Александера геометрической косы
А именно, операции сопряжения не меняют замыкания косы:
Сопряженные косы имеют изотопные замыкания
<aside> ❓ Какие понятия теории узлов приводят к инвариантам сопряженности кос?
</aside>
<aside> ❓ В каком случае две петли сопряжены в фундаментальной группе?
</aside>
Загадка 1. Найти геометрический критерий сопряженности в группе $B_n.$
Загадка 2. Существует ли нетривиальная коса, сопряженная к своей обратной?
Некоторые геометрические преобразования пространства $\R^3$ задают функции на множестве кос. Одно из них — отражение в переходе $\beta \mapsto \beta^{-1}$ к обратной косе. А вот ещё несколько.
Поворот косы вокруг своей оси
Определение. Поворот на угол $\pi$ вокруг оси $\{(n+1)/2\}\times \{0\}\times \mathbb {R},$ перпендикулярной основным плоскостям, задаёт автоморфизм $\rho_n\colon B_n\to B_n.$
<aside> ❓ Является ли автоморфизм $\rho_n$ внутренним?
</aside>