<aside> 🤔 Мега-задача: аксиоматизировать понятие пространства, придумать математически строгий интерфейс, позволяющий формализовывать топологические интуиции.не

</aside>

Задачи по общей топологии

Метрическая геометрия

Определение метрического пространства

Первой попыткой решения является понятие метрического пространства: что может быть естественнее, чем думать о пространствах как о местах, в которых зафиксировано понятие расстояния, и можно отвечать на вопросы в духе “какие точки находятся ближе к данной точке, а какие — дальше?”.

Определение Метрикой на множестве $X$ называется функция $d \colon X \times X \to [0, \infty)$, удовлетворяющая трем свойствам:

1. $d(x, y) = 0$ тогда и только тогда, когда $x = y$ (невырожденность);
2. $d(x, y) = d(y, x)$ для любых $x, y \in X$ (симметричность);
3. $d(x, y) \le d(x, z) + d(z, y)$ для любых $x, y, z \in X$ (неравенство треугольника).

Для заданной метрики $d$ на множестве $X$ число $d(x, y)$ называется расстоянием между точками $x$ и $y$.

Метрическим пространством называется пара $(X, d)$, где $X$ — множество, а $d$ — метрика на $X$.

Три аксиомы из определения метрического пространства выражают интуитивные понятия о концепции расстояния.

Иллюстрация к неравенству треугольника

Метрические пространства представляют наиболее общий сеттинг для изучения многих концептов из геометрии.

Чтобы задать на множестве структуру метрического пространства, нужно придумать функцию расстояния, удовлетворяющую трем несложным аксиомам. Это позволяет во многих ситуациях “заводить” геометрический язык в самых неожиданных ситуациях. При этом можно убедиться, что понятие метрики довольно сильное, чтобы автоматически гарантировать много свойств, выполнение которых мы ожидаем от концепта, соответствующего интуитивному понятию расстояния (уже из аксиом метрического пространства можно вывести много стандартных утверждений).

Примеры

1. На множестве $\mathbb{R}^n = \{(p_1, \ldots, p_n) \mid p_i \in \mathbb{R}\}$ можно ввести метрику $d$ с помощью формулы

$$ d(p, q) \vcentcolon= \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + \ldots + (p_n-q_n)^2}. $$

Метрическое пространство $(\mathbb{R}^n, d)$ называется $n$-мерным евклидовым пространством.

Измерение расстояния в 2-мерном евклидовом пространстве.

1. На множестве $\mathbb{R}^2$ можно ввести манхэттенское расстояние

$$ d_{\textrm{man}}(p, q) = |p_1-q_1| + |p_2 - q_2|. $$

Квадратно-гнездовая застройка Манхэттена

Измерение расстояния в манхэттеновской метрике