1. Будем говорить, что функция $f\colon X \to Y$ непрерывна в точке $x$, если для любого множества $A$ из $x \prec A$ следует $f(x) \prec f(A)$.

    (Это означает, что $f$ уважает близость точки $x$ к подмножествам).

    1. Покажите, что $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда она непрерывна в каждой точке.
    2. Покажите, что $f$ непрерывна в точке $x$ тогда и только тогда, когда для любой окрестности $V$ точки $f(x)$ найдется окрестность $U$ точки $x$ такая что $f(U) \subset V$.
    3. Выведите из (b), что $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз любого открытого в $Y$ обязательно открыт в $X$.
    4. Выведите из (c), что $f$ непрерывна тогда и только тогда, когда прообраз любого замкнутого в $Y$ обязательно замкнут в $X$.
    5. Покажите, что композиция непрерывных отображений непрерывна.
    6. Покажите, что гомеоморфность на классе всех топологических пространств задает отношение эквивалентности.
    1. Покажите, что множество в топологическом пространстве открыто тогда и только тогда, когда оно вместе с каждой точкой содержит некоторую окрестность.
    2. Покажите, что семейство всех замкнутых множеств удовлетворяет следующим условиям:
      1. все пространство и пустое множество замкнуты;
      2. пересечение произвольного числа замкнутых замкнуто;
      3. объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.
    1. Покажите, что топология на подпространстве корректно определена (то есть что совокупность $\Omega_A$ действительно образует топологическую структуру).
    2. Покажите, что включение подпространства в пространство $\mathrm{in}\colon A \hookrightarrow X$ является топологическим вложением.
    3. Покажите, что фактор-пространство корректно определено.
    4. Покажите, что каноническая проекция пространства на фактор-пространство $\pi\colon X \to X/_\sim$ является непрерывной сюръекцией.
    1. Покажите, что непрерывный образ связного пространства связен.
    2. Покажите, что отрезок $[0, 1]$ связен.
    3. Выведите отсюда, что окружность $S^1$ связна.
    4. Покажите, что квадрат $[0, 1]^2$ связен. (Подсказка: кривая Пеано).

  5. Объясните, почему следующие плоские фигуры гомеоморфны друг другу:

    1. полуплоскость $\{x\geqslant0\};$
    2. квадрант $\{x,y\geqslant0\}$;
    3. угол $\{x\geqslant y\geqslant0\}$;
    4. полуоткрытая полоса $\{y\in[0,1)\}$;
    5. квадрат без трёх сторон $\{0<x<1,\,0\leqslant y<1\}$;
    6. квадрат без двух сторон $\{0\leqslant х,\,у< 1 \}$;
    7. квадрат без стороны $\{0\leqslant x\leqslant 1, \,0\leqslant у< 1\}$;
    8. квадрат без вершины $\{0\leqslant x,\,y\leqslant 1\}\setminus (1,1)$;
    9. круг без одной граничной точки $\{ x^2+y^2\leqslant 1, \,y\neq 1 \}$;
    10. полукруг без диаметра $\{ x^2+y^2\leqslant 1, y>0 \}$;
    11. круг без радиуса $\{ x^2+y^2\leqslant 1\}\setminus [0,1]$;
    12. квадрат без половины диагонали $\{|x|+|y|\leqslant 1\}\setminus [0,1]$.

Метрические пространства

  1. Покажите, что для любого $p \ge 1$ функция $d(x, y) = (|x_1 - y_1|^p + |x_2 - y_2|^p)^{\frac{1}{p}}$, где $x = (x_1,x_2)$ и $y = (y_1,y_2)$, задает метрику на плоскости. Нарисуйте как выглядят примерно шары в этих метриках. Подумайте, что происходит, когда $p \to \infty$.

    1. Покажите аккуратно, что три рассмотренные на занятии метрики на плоскости задают одну и ту же топологию.
    2. (со звёздочкой) Покажите, что эти три метрики попарно неизометричны.
    3. На окружности можно ввести две метрики: евклидову (сужение метрики с $\mathbb{R}^2$) и угловую (длина кратчайшей дуги). Покажите, что эти метрики приводят к одной и той же топологии.
    4. Покажите, что эти метрики на окружности попарно неизометричны.

  3. Вообще говоря, топологию на отрезке $[0, 1]$ можно завести двумя способами:

    1. можно взять топологию на $\mathbb{R}$ и индуцировать ее на подпространство $[0, 1]$;

    2. можно рассмотреть отрезок $[0, 1]$ как самостоятельное метрическое пространство (с евклидовой метрикой $d(x, y) = |x - y|$).

    1. Покажите, что эти подходы приводят к одной топологии (посмотрите, как устроены открытые множества в обеих топологиях).
    2. Покажите, что вообще всегда верно, что если есть метрическое пространство $(X, d)$ и подмножество $A \subset X$, то топологии на $A$ полученные такими способами (берём топологию на $X$ и индуцируем vs сужаем метрику на $A$ и берем топологию суженной метрики) совпадают.

Задачи на метрику advanced

Общая теория метрических пространств

    1. Найдите такое метрическое пространство и два таких шара в нём, чтобы шар большего радиуса содержался в шаре меньшего радиуса и не совпадал с ним.
    2. Попробуйте проконтролировать, чтобы пример для предыдущей задачи изометрически вкладывался в $(\mathbb{R}, d)$.
    3. Покажите, что в любом примере для задачи (a) больший радиус не превосходит удвоенный меньший радиус.
    4. Покажите, что замкнутый шар $D(x, r)$ всегда замкнут.
    5. Покажите, что в евклидовом пространстве $D(x, r)$ является минимальным замкнутым множеством, содержащим $B(x, r)$.
    6. Приведите пример, когда метрического пространства, в котором предыдущее свойство не выполнено.
    7. Докажите, что сферы являются замкнутыми множествами.
    8. Найдите сферу, являющуюся открытым множеством.
  2. Приведите пример двух замкнутых непересекающихся множеств в метрическом пространстве на расстоянии $0$.
  3. Функция $f\colon [0, \infty) \to [0, \infty)$ называется выпуклой вверх, если выполнено неравенство $f(\lambda x + (1 - \lambda y)) \ge \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y)$ для любого $\lambda \in [0, 1]$. Пусть $f$ — такая функция, а $(X, d)$ — метрическое пространство. Предположим, что $f(\lambda) = 0$ тогда и только тогда, когда $\lambda = 0$. Покажите, что функция $d_f(x, y) \vcentcolon= f(d(x, y))$ задает метрику на $X$.

Метрика на векторных пространствах

  1. Нормой на векторном пространстве $V$ называется функция $\rho \colon V \to \mathbb{R}$, удовлетворяющая следующим свойствам:

    1. $\rho(x) \ge 0$, и равенство достигается только для x = 0;
    2. $\rho(x + y) \le \rho(x) + \rho(y)$;
    3. $\|\lambda x\| = |\lambda| \|x\|$ для любого вещественного $\lambda$.

    Параллельным переносом на $x \in V$ называется отображение $P_x \colon V \to V, y \mapsto y + x$.

    1. Покажите, что функция $d_\rho(x, y) =\rho(x - y)$ инварианта относительно параллельных переносов, то есть $d_\rho(P_x(a), P_x(b)) = d_\rho(a, b)$.
    2. Покажите, что функция $d$ задает метрику на $V$.

  2. Пусть $V$ — векторное пространство со скалярным произведением $g \colon V \times V \to \mathbb{R}$. От скалярного произведения требуется, чтобы были выполнены свойства:

    1. $g(x, x) \ge 0$ и равенство достигается только для $x = 0$;
    2. $g(x, y) = g(y, x)$;
    3. $g(\lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2, y) = \lambda_1 g(x_1, y) + \lambda_2 g(x_2, y)$.
    1. Покажите, что для функции $g$ выполнено неравенство треугольника $\sqrt{g(x - y, x - y)} \le \sqrt{g(x, x)} + \sqrt{g(y, y)}$. Подсказка. Рассмотрите подпространство $V_0 \subset V$, порожденное $x$ и $y$. Покажите, что либо оно одномерно, либо изоморфно как пространство со скалярным произведением пространству $\mathbb{R}^2$ со стандартным скалярным произведением $g((x, y), (x’, y’)) = xx’ + yy’$. Воспользуйтесь неравенством треугольника для $\mathbb{R}^2$.
    2. Покажите, что функция $\|x\| \vcentcolon= \sqrt{g(x, x)}$ является нормой на $V$. Метрику, заданную этой нормой мы будем обозначать через $d_g$.
    3. Покажите, что норма из (b) удовлетворяет тождеству параллелограмма: $2 \|x\|^2 + 2 \|y\|^2 = \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2$.
    4. Покажите, что для произвольной нормы $\|\cdot\|$ следующие условия равносильны:
      1. для $\|\cdot\|$ выполнено тождество параллелограмма;
      2. для $\|\cdot\|$ выполнено неравенство $2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 \le \|x + y\|^2 + \|x - y\|^2$;
      3. для $\|\cdot\|$ выполнено неравенство $\|x + y\|^2 + \|x - y\|^2 \le 2 \|x\|^2 + 2 \|y\|^2$;
      4. норма $\|\cdot\|$ приходит из некоторого скалярного произведения.

    Подсказка. Воспользуйтесь поляризационным тождеством $g(x, y) = \frac{\|x + y\|^2 - \|x - y\|^2}{4}$ для нормы, пришедшей из скалярного произведения.

  3. Пусть $V$ — векторное пространство, $P_x\colon V \to V$ — параллельный перенос. Образ одномерного подпространства под действием $P_x$ называется прямой в $V$.

    1. Покажите, что для любых различных точек $x \ne y \in V$ существует единственная прямая $V_{x, y}$, проходящая через $x$ и $y$.
    2. Покажите, что отрезок $[x, y]$ в нормированном пространстве лежит на прямой $V_{x, y}$.
    3. Покажите, что отрезок $[x, y]$ в нормированном пространстве совпадает с множеством точек $z$ вида $\lambda x + (1 - \lambda) y$, где $\lambda \in [0, 1]$.

  4. Пусть $d$ — метрика на V, инвариантная относительно параллельных переносов. Предположим, что $d$ удовлетворяет условию $d(\lambda x, \lambda y) = |\lambda| d(x, y)$. Покажите, что $d$ получается из некоторой нормы $\rho$ по формуле $d(x, y) = \rho(x - y)$.