Задачи по группам

Многие впечатляюще красивые математические теории возникают из неожиданных сочетаний известных понятий. К классу таких теорий относится комбинаторная и геометрическая теория групп. Находясь на стыке алгебры, комбинаторики, геометрии и топологии, она отталкивается от идеи рассмотрения счетной группы как “геометрического пространства”, что открывает пути из алгебры и комбинаторной теории групп в гиперболическую геометрию, топологию многообразий, теорию графов, теорию динамических систем и т.д. Исследуя геометрию каждой конкретной группы, мы вовлекаем, применяем и тем самым осваиваем «вживую» множество математических дисциплин одновременно, изучая не «слои» математики (алгебру, геометрию, топологию), а — пронизывая эти слои — всю математику одновременно.

Определение группы

Пусть на множестве $G$ задана бинарная операция, то есть функция

$$ \ast\colon G \times G \to G $$

Здесь $\ast$ — обозначение функции. Обычно для краткости пишут $x\ast y := \ast(x,y)$.

Пара $(G,\ast)$ называется группой, если выполняются следующие условия (”аксиомы”):

1. для любых элементов $g_1, g_2, g_3 \in G$ выполняется

$$ (g_1\ast g_2)\ast g_3 = g_1\ast (g_2\ast g_3); $$

(такое свойство называется ассоциативностью)

1. существует такое $e \in G$, что для любого $g \in G$ выполняется

$$ e\ast g = g\ast e = g $$

(такой элемент $e$ называется нейтральным, единичным или тривиальным*)*

1. для любого $g \in G$ существует такое $h \in G$, что

$$ g\ast h = h\ast g = e $$

(такой элемент $h$ называется обратным к элементу $g$)

Обозначения и замечания

1. Обычно пишут $xy$ вместо $x\ast y$.
2. Благодаря свойству ассоциативности, необязательно ставить скобки в длинных произведениях: запись $g_1 g_2 g_3 \ldots g_m$ однозначно кодирует элемент группы.
3. Нейтральный элемент группы единствен: если есть два $e_1,e_2\in G,$ то

$$ e_1 = e_1e_2 = e_2 $$

1. Обратный элемент к данному единствен: если есть два $h_1,h_2 \in G,$ то

$$ h_1 = h_1e = h_1gh_2 = eh_2 = h_2 $$

Обратный элемент обычно обозначается символом $g^{-1}$.

1. Точно так же, как было с косами, определяется целая степень любого элемента, причем

$$ \begin{align*}g^ng^m&=g^{n+m}, \\ (g^n)^m &= g^{nm}.\end{align*} $$

Примеры:

1. Одноэлементная группа называется тривиальной.