1. Пусть $G$ — группа, $S\subseteq G$ — порождающее множество, $R\subseteq W(S^{\pm})\times W(S^{\pm})$ — набор соотношений, выполненных в группе $G$. Тогда следующие условия равносильны:
   1. $G\cong\langle S\,|\, R\rangle$.
   2. Для любого соотношения $"u=v"$ в группе $G$ существует такое слово $w$, что каждое из слов $u$ и $v$ можно привести допустимыми преобразованиями к слову $w$.
   3. Любое слово $u$, представляющее нейтральный элемент группы (т. е. $\textrm{ev}(u)=e$), можно допустимыми преобразованиями перевести в пустое слово.
2. Докажите, что $\Z = \langle 2,3\rangle.$
3. Докажите, что симметрическая группа может быть порождена элементарной транспозицией $s_1$ и длинным циклом $s_1s_2\ldots s_{n-1}$:

$$ S_n = \langle s_1, s_1s_2\ldots s_{n-1}\rangle. $$

1. Докажите, что

$$ \mathbb{Z}^n\cong \langle v_1,v_2,\dots,v_n\,|\,v_iv_j=v_jv_i\,\,для\,\,1\leqslant i<j\leqslant n\rangle $$

Подсказка: $\textrm{ev}(v_1^{m_1}\dots v_n^{m_n})=(m_1,\dots,m_n)\in\mathbb{Z}^n$.

1. Известно, что

$$ G\cong \langle a, t\,|\, t^{-1}at=a^2\rangle. $$

Покажите, что любое слово из $W(\{a,t,a^{-1},t^{-1}\})$ может быть приведено допустимыми преобразованиями к виду $t^na^kt^{-m}$, где $n\geqslant0$ и $m\geqslant 0$.

Подсказка: покажите, что $t^{-1}a^mt = a^{2m}.$

1. Известно, что

$$ G\cong \langle a, b\,|\, a^{-1}ba=b^2,\, b^{-1}ab=a^2\rangle. $$

Покажите, что любое слово из $W(\{a,b,a^{-1},b^{-1}\})$ может быть приведено допустимыми преобразованиями к пустому. Иными словами, группа $G$ является тривиальной.

1. Докажите, что при $s = 2$ и $t = 3$ выполняется

$$ \mathbb{Z}\cong\langle s,t\,|\, s^3=t^2,\, st=ts\rangle. $$

1. Докажите (хотя бы при $n=3$), что выполняется

$$ S_n \cong \langle s_1, s_2, \ldots, s_{n-1} \mid {\color{red} s_i = s_i^{-1}}, \ 1 \leq i \leq n-1;\ \\\ \mkern{10.5em} s_i s_j = s_j s_i,\ \ |i - j| > 1; \\ \mkern{10.5em}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1}, 1 \le i \le n - 2\rangle. $$

1. Найдите такие $a,b\in B_3$, что

$$ B_3\cong\langle a,b\,|\,a^2=b^3\rangle. $$

Проблема тождества в группах