<aside> 🔥 Аннотация. Теория кос является одним из интереснейших разделов топологии малых размерностей — наиболее естественной, наглядной и интуитивной части топологии. Так, современные исследования кос затрагивают различные аспекты комбинаторики, теории групп, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую геометрию, теорию узлов, комбинаторику многогранников, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, описать произвольный узел, симметрию платонова тела или отображение между многомерными сферами. В настоящем курсе мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.

</aside>

Теория кос (весна 2024)

План курса со страницы https://mccme.ru/dubna/2022/courses/alekseev.html:

• Структуры на косах и нормальные формы
• Действия групп кос и инварианты
• Трихотомия Нильсена–Тёрстона
• Косы на поверхностях и комплекс Мура брунновых кос

Пререквизитом к данному курсу является пространственное мышление и воображение. Например, порой будет необходимо мысленно представлять сразу множества объектов, держать каждый в поле зрения и проводить над отдельными из них различные операции.

• Для развития подобного навыка предлагается прорешать следующие упражнения.

<aside> ⭐ Ссылка на слайды с занятий: https://docs.google.com/presentation/d/1Alxm9OwmpSCM5ozWAfLtlOR3M7dW1zmU/edit?usp=sharing&ouid=107289206179437168327&rtpof=true&sd=true

</aside>

Обращаем внимание на Студенческий семинар по маломерной топологии (https://t.me/ldtss)

Косы: хитросплетение математики

Конспект занятия 1

Определение. Геометрическая коса с n нитями — это подмножество цилиндра, состоящее из n кривых т.ч.:

1. каждая плоскость, параллельная основанию цилиндра, пересекает косу по ровно n точкам
2. концы кривых расположены на двух параллельных прямых

Определение. Изотопия — это шевеление точек цилиндра т.ч.:

1. точки не выходят за пределы своих горизонтальных плоскостей
2. точки на поверхности цилиндра неподвижны

Определение. Геометрические косы изотопны, если одна может быть получена из другой изотопией.

Изотопность — это отношение эквивалентности на множестве кос. Ввиду пункта 2. из определения, при изотопии концы нитей остаются неподвижны. В частности, геометрические косы с разным числом нитей неизотопны. Изменение порядка кончиков нитей (при движении от начала к концу) — тоже изотопический инвариант.

Определение. Коса — это любой такой класс эквивалентности.

Для n≥1, через B_n обозначается множество всех кос с n нитями. Это счётное множество.

Факт 1 (классификация кос с 1 нитью). Любая геометрическая коса с 1 нитью изотопна прямой косе.

Факт 2 (классификация кос 2 нитями). Любая геометрическая коса с 2 нитями изотопна одной из представленных на рисунке ниже, более того, никакие две такие косы не изотопны.