Теория кос является одним из интереснейших разделов топологии малых размерностей — наиболее естественной, наглядной и интуитивной части топологии. Так, современные исследования кос затрагивают различные аспекты комбинаторики, теории групп, динамики, гиперболической геометрии, алгебраической топологии, случайных процессов, теории представлений, а сама теория кос проникает в теорию гомеоморфизмов поверхностей, алгебраическую геометрию, теорию узлов, комбинаторику многогранников, теорию гомотопий, криптографию и т. д. К примеру, с помощью кос можно исследовать разрешимость алгебраического уравнения, описать произвольный узел, симметрию платонова тела или отображение между многомерными сферами. Мы охватим базовые и наиболее яркие сюжеты, ведущие к глубинным закономерностям теории кос.
.gif)
Классический подход к математическому определению косы состоит из двух шагов. Сначала вводятся определённые наборы кривых в трёхмерном пространстве, которые называются геометрическими косами. Затем на множестве всех геометрических кос вводится отношение эквивалентности, которое называется изотопностью и отвечает возможности преобразовать одну геометрическую косу в другую определёнными физическими манипуляциями нитей. По определению принимается, что эквивалентные геометрические косы представляют один и тот же математический объект — косу.
Для данного натурального числа $n$ пусть в трёхмерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^3$ на двух параллельных плоскостях $\mathbb{R}^2\times \{0\}$ и $\mathbb{R}^2\times\{1\}$ отмечены по $n$ точек
$$ \{(k,0,0) \in \R^3 \mid k \in\{1,2,\ldots,n\}\}\ \\ \{(k,0,1) \in \R^3 \mid k \in\{1,2,\ldots,n\}\}, $$
расположенных друг напротив друга на двух параллельных прямых $\mathbb{R}\times\{0\}\times\{0\}$ и $\mathbb{R}\times\{0\}\times\{1\}$. Для краткости множество $\mathbb{R}^2\times[0,1]$, ограниченное плоскостями $\mathbb{R}^2\times \{0\}$ и $\mathbb{R}^2\times\{1\}$, называется объемлющим пространством, а сами плоскости — основными.
Геометрической косой из $n$ нитей называется подмножество объемлющего пространства $\mathbb{R}^2\times[0,1]$, которое состоит из $n$ кривых и удовлетворяет следующим требованиям:
Данные кривые называются нитями геометрической косы. Второе условие означает то, что нити идут «монотонно», то есть в длину вдоль прямой, перпендикулярной основным плоскостям.
Условие монотонности
Примеры геометрических кос:
Изотопия геометрических кос представляет собой определённое непрерывное “шевеление” нитей. Предполагается, что при таких шевелениях должны сохраняться два указанных выше определяющих свойства геометрических кос, то есть необходимо, чтобы концы нитей были неподвижны, а сами нити оставались монотонными и не проходили друг сквозь друга. В частности, допустимыми манипуляциями нитей являются их покачивания, но не задирания или попытки «заузливания».