1. Пусть коса $\beta \in B_n$ может быть записана артиновским словом, в которое не входят образующие $\sigma_{n-1}$ и $\sigma_{n-1}^{-1}$. Схематично изобразите и упростите косу

$$ (\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{n-1}) \beta (\sigma_{n-1}^{-1}\sigma_{n-2}^{-1} \ldots \sigma_{1}^{-1}). $$

  1. Пусть коса $\beta \in B_n$ может быть записана артиновским словом, в которое не входят образующие $\sigma_1$ и $\sigma_1^{-1}$. Схематично изобразите косу

$$ \alpha = (\sigma_1\sigma_2\ldots \sigma_{n-2}) \sigma_{n-1}^2 (\sigma_{n-2}\sigma_{n-3} \ldots \sigma_1) $$

и объясните, почему $\alpha\beta = \beta\alpha$.

  1. Объясните, почему при $n\geq 3$ выполняется неравенство

$$ \sigma_{n-1} \sigma_{n-2} \ldots \sigma_1 \neq \sigma_1\sigma_2 \ldots \sigma_{n-1}. $$

  1. Дайте геометрический смысл преобразованию $\beta \mapsto \Delta_n\beta \Delta_n^{-1}$.
  2. Докажите, что $(\sigma_{n-1} \sigma_{n-2} \ldots \sigma_1)^n=(\sigma_1\sigma_2 \ldots \sigma_{n-1})^n.$
  3. Докажите, что любую косу из $n$ нитей можно представить в виде произведения следующих четырёх кос:

$$ \sigma_1,\ \sigma_1^{-1},\ (\sigma_{n-1} \sigma_{n-2} \ldots \sigma_1),\ (\sigma_{n-1} \sigma_{n-2} \ldots \sigma_1)^{-1}. $$

Коса называется крашеной (или чистой), если ей соответствует тождественная перестановка. Коса называется брунновой, если все косы из $n-1$ нитями, получающиеся из неё удалением ровно одной нити, тривиальны

  1. Докажите, что при $n\geq3$ любая бруннова коса является крашеной.
  2. Предложите способ, как для каждого $n \geq 3$ построить какую-нибудь нетривиальную бруннову косу из $n$ нитей.
  3. Докажите, что для крашеной косы $\beta$ из $n$ нитей условие $d_n(\beta)=1$ эквивалентно тому, что $\beta$ имеет геометрического представителя, у которого первые $n-1$ нитей — прямые.

Инварианты кос

  1. Докажите, что если все коэффициенты зацепления косы являются четными, то эта коса является крашеной.
  2. Докажите, что функция раскраски $\tau_\beta\colon \{к,з,с\}^n \to \{к,з,с\}^n$, соответствующая любой косе $\beta\in B_n$, является биекцией.

Причесанная нормальная форма крашеных кос

  1. Представьте в причесанной нормальной форме:
    1. центральную косу;
    2. бруннову косу на рисунке.
  2. Пусть $\alpha = \alpha_n\alpha_{n-1}\ldots\alpha_2$ и $\beta = \beta_n\beta_{n-1}\ldots\beta_2$ — крашеные косы, представленные в причёсанном виде. Опишите причёсанный вид косы $\alpha\beta$. Подсказка: начните с малых $n$.

Untitled

Представление Бурау