В качестве иллюстрации применения теоремы Артина опишем инвариант, кодирующий информацию о взаимодействии отдельных пар нитей косы.
Речь идёт о коэффициенте зацепления, равном суммарному количеству полуоборотов, которое одна нить совершает вокруг другой. Имеется два подхода к аккуратному определению этой величины.
Пусть $\beta \in B_n$ — коса, а $i$ и $j$ — такие индексы, что $1\leq i<j\leq n.$
Определение 1. Единственное такое $m \in \Z,$ что двуниточная коса, получающаяся из $\beta$ удалением всех нитей, кроме заданной пары $(i,j),$ равна $\sigma_1^m,$ называется коэффициентом зацепления нитей с номерами $i$ и $j$ и обозначается символом ${\rm lk}_{i,j}(\beta).$
Следующее изображение подсказывает, как вычислять данную величину на практике.
Пусть $\beta \in B_n$ — коса, а $i$ и $j$ — такие индексы, что $1\leq i<j\leq n.$
Определение 2. Пусть коса $\beta \in B_n$ задана артиновским словом. Разность между количеством положительных и количеством отрицательных образующих Артина, соответствующих перекрёсткам нитей с номерами $i$ и $j,$ называется коэффициентом зацепления этих нитей и обозначается символом ${\rm {lk}}_{i,j}(\beta).$
Утверждение. Коэффициент зацепления ${\rm lk}_{i,j}$ является инвариантом кос.
Доказательство. Данная величина сохраняется при каждом преобразовании Артина.
Данный результат применяется в следующей задаче.
Задача 6. Положим $\alpha \leq_+ \beta,$ если коса $\alpha^{-1}\beta$ может быть записана положительным артиновским словом (т. е. без отрицательных степеней). Бинарное отношение $\leq_+$ задаёт частичный порядок на множестве $B_n.$
Загадка 1. Как мог бы выглядеть аналог коэффициентов зацепления, основанный на возможности удаления из косы всех нитей, кроме заданных трёх?
Наряду с коэффициентами зацепления нитей косы рассматривают следующую характеристику.
Пусть коса $\beta \in B_n$ задана артиновским словом.