Содержание раздела:

Определение. Коса $\beta$ называется крашеной (или чистой, от англ. pure), если она индуцирует тождественную перестановку: $\pi_\beta = {\rm id}.$

Множество всех крашеных кос из $n$ нитей обозначается символом $P_n$.

Определение. Представление крашеной косы $\beta \in P_n$ в виде

$$ \beta = \beta_n \beta_{n-1}\ldots \beta_2 $$

называется её причёсанным видом, если каждая коса $\beta_k$ имеет геометрического представителя, у которого все нити, кроме $k-$ой, являются прямыми, а $k-$ая зацепляется только за нити с меньшими номерами.

Теорема.

1. Каждая крашеная коса может быть представлена в причесанном виде.
2. Косы-блоки $\beta_k$ в такой форме определены однозначно.

Данная теорема была доказана независимо:

• Андреем Андреевичем Марковым (младшим) с его учеником А. Ивановским (1945),
• Эмилем Артином (1947).

Доказательство состоит из серии лемм. Для удобства введём следующее понятие.

Определение. Крашеная коса $\beta$ из $n$ нитей называется $n-$брунновой, если коса из $n-1$ нитей, получающаяся из неё удалением нити с номером $n,$ тривиальна: $d_n(\beta)=1.$

Оказывается, данное свойство эквивалентно условию, фигурирующему в причёсанном виде.

Лемма 1. Для крашеной косы $\beta \in P_n$ следующие условия эквивалентны:

1. $\beta$ является $n-$брунновой.
2. $\beta$ имеет геометрического представителя, в котором первые $n-1$ нитей — прямые.

Доказательство. Из второго пункта следует первый, а для доказательства обратного нужно применить к косе развязывающую изотопию из определения $n-$брунновости.

Лемма 2. Любая крашеная коса $\beta \in P_n$ представляется в виде произведения $n-$брунновой косы и косы, на геометрическом представителе которой $n-$ая нить является прямой и не зацепляется за остальные.

Доказательство. Пусть $d_n(\beta) \in P_{n-1}$ — коса, получающаяся из косы $\beta$ удалением $n$-ой нити, и $\gamma \in P_n$ — коса, получающаяся из косы $d_n(\beta)$ добавлением прямой нити сверху. Тогда

$$ \beta = (\beta \gamma^{-1})\cdot \gamma. $$