Содержание раздела:
Мы сведём “непрерывное” изучение кос к их “дискретному” изучению с помощью теоремы Артина.
Первая часть этой теоремы позволяет кодировать косы конечными последовательностями символов, а вторая отвечает на вопрос о том, насколько такая кодировка неоднозначна.
С точки зрения комбинаторной теории групп, теорема Артина даёт задание группы кос $B_n$ образующими и соотношениями.
Эмиль Артин (1898 — 1962) — австрийский математик армянского происхождения, первопроходец в теории кос
Определим косы $\sigma_i$ (соответственно, $\sigma_{i}^{-1}$) своими геометрическими представителями, у которых нити под номерами $i$ и $i+1$ единожды переплетаются в положительном (соответственно, в отрицательном) направлении, а остальные являются прямыми.
Определение. Косы $\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n-1}$ и $\sigma _{1}^{-1},\sigma _{2}^{-1},\ldots ,\sigma _{n-1}^{-1},$ представленные на левой части следующего рисунка, называются образующими А́ртина и обратными к ним.
Образующие Артина и обратные к ним (слева). Коса, заданная артиновским словом $\sigma_5^{-1}\sigma_2\sigma_3\sigma_3\sigma_1^{-1}\sigma_5$ (справа).
Определение. Конечные последовательности элементов из множества образующих Артина и их обратных называются артиновскими словами.
<aside> 💡 Артиновское слово — это слово в алфавите $\{\sigma_1^{\pm 1}, \ldots \sigma_{n-1}^{\pm 1}\}.$
</aside>
Конструкция. Сопоставим артиновскому слову геометрическую косу, полученную поочерёдным умножением геометрических кос, отвечающих буквам этого слова.
Задача 1. Пусть коса $\beta \in B_n$ может быть записана артиновским словом, в которое не входят образующие $\sigma_{n-1}$ и $\sigma_{n-1}^{-1}.$ Схематично изобразите и упростите косу
$$ (\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{n-1}) \beta (\sigma_{n-1}^{-1}\sigma_{n-2}^{-1} \ldots \sigma_{1}^{-1}). $$
Задача 2. Пусть коса $\beta \in B_n$ может быть записана артиновским словом, в которое не входят образующие $\sigma_1$ и $\sigma_1^{-1}.$ Схематично изобразите косу
$$ \alpha = (\sigma_1\sigma_2\ldots \sigma_{n-2}) \sigma_{n-1}^2 (\sigma_{n-2}\sigma_{n-3} \ldots \sigma_1) $$
и объясните, почему $\alpha\beta = \beta\alpha.$
<aside> ❓ Любая ли геометрическая коса так получается из некоторого артиновского слова?
</aside>
Вообще говоря, ответ отрицательный.
Изотопия, подтягивающая нити к окологоризонтальному положению
