Содержание раздела:

Чтобы привыкнуть к работе с косами, посмотрим на практике, что с ними можно делать.

1. Повороты и отражения кос

Помимо отражения $\beta \mapsto \beta^{-1},$ фигурирующего в определении обратной косы, некоторые другие геометрические преобразования трёхмерного пространства также задают функции на множестве кос:

Поворот косы вокруг своей оси

Отражение косы относительно плоскости проекции

1. Поворот на угол $\pi$ вокруг оси $\{(n+1)/2\}\times \{0\}\times \mathbb {R},$ перпендикулярной основным плоскостям, задаёт корректно определённую функцию $\rho_n\colon B_n\to B_n.$
2. Отражение относительно плоскости проекции $\R\times \{0\}\times [0,1]$ задаёт функцию $\tau_n\colon B_n\to B_n,$ называющуюся отражением и автоморфизмом-отражением.

Пример исследовательского проекта. Изучить структуру множества тех кос, которые переходят в себя под действием одного из вышеописанных преобразований.

2. Удаление нити

Косы можно упрощать, удаляя из них те или иные нити. Опишем подробно данную процедуру.

Строго говоря, при выдергивании нити из геометрической косы может не получиться геометрическая коса:

Концы расположены в неправильных координатах :/

Но если $\pi_\beta(n) = n$, то при удалении последней нити **получается геометричеcкая коса. В этом случае определена операция $d_n$ удаления нити под номером $n$. В общем случае отображение

$$ d_k\colon B_n \to B_{n-1}. $$

удаления нити под номером $k$ можно определить с помощью следующей картинки:

Красная кривая символизирует нить, которую хочется удалить из исходной косы (центр)

С операцией удаления нитей связана следующая интересная концепция.

Определение. Коса из $n$ нитей называется брунновой, если все косы из $n-1$ нитей, получающиеся из неё удалением ровно одной нити, тривиальны.

Например, справа изображена нетривиальная бруннова коса из $3$ нитей.