Содержание:

Доклад посвящен доказательству теоремы Керекьярто о том, что любой имеющий конечный порядок автогомеоморфизм диска или сферы сопряжен изометрии. Данный результат связан с теорией кос, является ключевым компонентом классификации периодических элементов в группах классов отображений поверхностей и открывает пути в теорию действий конечных групп на многообразиях и теорию орбифолдов. Изложение следует статье A. Constantin, B. Kolev, The theorem of Kerekjarto on periodic homeomorphisms of the disc and the sphere, 1994].

Введение

Поворот диска на $2\pi/5$ вокруг его центра

Поворот сферы с ручками на $2\pi/5$

Определение. Автогомеоморфизм $f \colon X \to X$ топологического пространства называется периодическим, если существует такое $n \in \N,$ что $f^n = {\rm id}.$ Наименьшее такое $n$ называется порядком автогомеоморфизма $f.$

Если гомеоморфизм $f$ периодичен, то орбита $\mathcal{O}(a) := \{f^k(a) \mid k\in \Z\}$ каждой точки $a \in X$ конечна.

<aside> 💡 Если пространство $X$ вложимо в $\R^n$ достаточно симметричным образом, то $X$ допускает нетривиальный периодический автогомеоморфизм — изометрию.

</aside>

Однако в общем случае могут существовать периодические гомеоморфизмы, не реализующиеся подобными объемлющими изометриями евклидовых пространств.

Инволюция кольца

Поворот $(4g+2)-$угольника на один “тик” задаёт гомеоморфизм поверхности $\Sigma_g$

Гиперэллиптическая инволюция поверхности совпадает с поворотом $(4g+2)-$угольника на угол $\pi$

Сопряжение как замена координат

Пример “замены координат” на квадрате

Пусть имеется автогомеоморфизм $\varphi \colon X \to X$ пространства $X,$ который будем воображать себе как способ “заменить координаты” на $X.$ Свяжем с каждым периодическим гомеоморфизмом $f \colon X \to X$ сопряженный гомеоморфизм

$$ f_\varphi := \varphi\circ f\circ \varphi^{-1}. $$

Утверждается, что гомеоморфизм $f_\varphi \colon X \to X$ тоже периодический, имеет тот же порядок и обладает теми же самыми внутренними свойствами.

<aside> 💡 Данная конструкция позволяет генерировать периодические гомеоморфизмы.

</aside>

Отталкиваясь от геометрических **автогомеоморфизмов, мы получаем множество примеров. В качестве путеводной звезды озвучим следущий фундаментальный расплывчатый вопрос.

<aside> ❓ Любой ли периодический гомеоморфизм заданной поверхности можно получить вышеописанной конструкцией из некоторого геометрического гомеоморфизма?

</aside>

Периодические гомеоморфизмы отрезка и окружности

Проиллюстрируем расплывчатый вопрос выше на следующем простейшем примере.

<aside> ❓ Какие периодические гомеоморфизмы отрезка $[0,1]$ вы знаете?

</aside>

<aside> ❓ Как устроены все периодические гомеоморфизмы отрезка $[0,1]?$

</aside>

Упражнение. Пусть $f\colon [0,1] \to [0,1]$ — периодический гомеоморфизм.

1. Если $f$ сохраняет ориентацию, то $f={\rm id}.$
2. Если $f$ обращает ориентацию, то он сопряжен отражению $x \mapsto 1-x$ относительно центра отрезка.

Далее, обратимся к чуть более сложному примеру.

<aside> ❓ Какие периодические гомеоморфизмы окружности $S^1$ вы знаете?

</aside>

<aside> ❓ Как устроены все периодические гомеоморфизмы окружности $S^1?$

</aside>

Упражнение. Пусть $f\colon S^1 \to S^1$ — периодический гомеоморфизм.

1. Если $f$ сохраняет ориентацию, то он сопряжен повороту на угол $2\pi\alpha,$ где $\alpha \in \mathbb{Q}.$
2. Если $f$ обращает ориентацию, то он сопряжен отражению относительно некоторой прямой, проходящей через центр окружности.

График гомеоморфизма отрезка

Ещё визуализация: фазовый портрет

Гомеоморфизм окружности

<aside> ❓ Как устроены периодические гомеоморфизмы прямой $\R \cong (0,1)?$

</aside>