Курс посвящен введению в науку о действиях групп на одномерных многообразиях. Его основная цель — освоить материал классической заметки "E. Ghys, Groups acting on the circle", попутно предоставляя экспозицию и восстанавливая необходимые детали.

E. Ghys, Groups acting on the circle.pdf

Обращаем внимание на пересечение с книгой:

A. Navas, Groups of Circle Diffeomorphisms.pdf

Видеозаписи:

Группы, действующие на окружности (2023)

План курса

  1. Базовые понятия и интуиции
    1. Характеризация гомеоморфизмов прямой и отрезка в терминах строгой монотонности
    2. Группы ${\rm Homeo}+(\R) \leq {\rm Homeo}(\R)$ и ${\rm Homeo}+(I) \leq {\rm Homeo}(I)$
    3. Способы изображения гомеоморфизмов: график, диаграмма и фазовый портрет
    4. Кусочно-линейные преобразования и их замкнутость относительно композиции
    5. Группы ${\rm PL}+(\R) \leq {\rm PL}(\R)$ и ${\rm PL}+(I) \leq {\rm PL}(I)$
    6. Носители и неподвижные точки
    7. Орбиты
    8. Инвариантные подмножества и минимальность действий
    9. Канторово множество и теорема Брауэра о его характеризации (б/д)
    10. Полусопряжение (факторизация), поведение орбит при полусопряжении
    11. Поднятие отображений окружности до отображений прямой
    12. Пространство орбит
    13. Накрытия
  2. Группа Томпсона $F \leq {\rm PL}(I)$
    1. Диадические гомеоморфизмы отрезка и их характеризация
    2. Кодировка диадических гомеоморфизмов парами бинарных корневых деревьев
    3. Стандартные образующие $x_0,x_1,\ldots$ и экспоненциальная нормальная форма
    4. Гомоморфизм абелианизации $F\to\Z^2$ и коммутант $F^\prime$
    5. Транзитивность действия $F$ и $[F, F]$ на двоично-рациональных последовательностях
    6. Подгруппы $F[x, y]$ и вложения $F^n\times \Z^m \to F$ (перенесено в упражнения)
    7. Тривиальность центра $Z(F)$
    8. Любой нетривиальный фактор является абелевым
      1. аргумент Эпштейна
      2. аргумент Хигмана
      3. комбинаторно-алгебраическое доказательство
    9. Простота коммутанта $F^\prime$
    10. Теорема Брина — Скуайера
      1. любая неабелева подгруппа группы ${\rm PL}_+(I)$ содержит свободную абелеву группу счётного ранга
      2. следствие об отсутствии свободных неабелевых подгрупп

Источники сюжетов:

J. W. Cannon, W. J. Floyd, W. R. Parry, Introductory notes on Richard Thompson's groups.pdf

J. M. Belk, Thompson’s group F.pdf

J. Burillo, Introduction to Thompson’s group F.pdf

K. Kopia, M. Clay, D. Margalit, Office Hours with a Geometric Group Theorist.pdf

  1. Упорядочиваемые группы
    1. Отсутствие кручения
    2. Задание порядка на группе положительным конусом
    3. Порядки на группе ${\rm Homeo}_+(\R),$ задаваемые плотными подмножествами в $\R$
    4. Динамическая реализация (не более чем счётной) упорядочиваемой группы
    5. Архимедовы порядки
      1. порядок, ограниченный с группы ${\rm Homeo}_+(\R)$ на подгруппу, действующую свободно, является архимедовым
      2. архимедов порядок является двусторонне инвариантным
      3. если группа допускает архимедов порядок, то она абелева
      4. если группа допускает дискретный архимедов порядок, то она циклическая
      5. (обобщённая) теорема Гёльдера о вложимости в $\R$
      6. теорема Гёльдера о свободных действиях на $\R$ (следствие обобщённой)

Источники сюжетов:

A. Clay, D. Rolfsen, Ordered Groups and Topology.pdf

  1. Псевдохарактеры
    1. Свойства псевдохарактеров
      1. инвариантность при сопряжении
      2. ограничение на абелеву подгруппу является гомоморфизмом
    2. Пространство ${\rm Maps}(G,\R)$ функционалов на группе
      1. подпространства квазихарактеров и псевдохарактеров
      2. асимптотическая эквивалентность — факторизация ${\rm Maps}(G,\R)$ по $L^\infty(G)$
      3. устойчивость квазихарактеров при асимптотической эквивалентности
      4. единственность псевдохарактеров в асимптотическом классе
    3. Усреднение квазихарактеров
      1. лемма Фекете о субаддитивных последовательностях
      2. проектор ${\rm X}(G) \to {\rm PX}(G)$ и изоморфизм ${\rm X}(G)/L^\infty(G)\cong {\rm PX}(G)$
    4. Если $G$ равномерно совершенна, то ${\rm X}(G) = L^\infty(G)$ и ${\rm PX}(G) = 0$