Содержание раздела:
Цель данного раздела — наметить подход к изучению кос с помощью групповой структуры, введённой пионером теории кос Эмилем Артином в 1925 году. Мы начнём с интуитивного представления, а затем опишем альтернативный взгляд, намеченный в 1891 году предшественником Артина — Адольфом Гурвицем.
Адольф Гурвиц (1859-1919) — немецкий математик еврейского происхождения
Эмиль Артин (1898-1962) — австрийский математик армянского происхождения
Косы из одинакового числа нитей можно умножать, соединяя правые концы нитей первой косы с левыми концами нитей второй косы (и сжимая вширь полученную фигуру в два раза).
Определение. Произведением геометрических кос $A,B\subset \mathbb {R} ^{2}\times [0,1]$ из одинакового числа нитей называется геометрическая коса из того же числа нитей, состоящая из таких точек $(p,t)\in \mathbb{R}^{2}\times [0,1]$, что
$$ \begin{align*}(p,2t)&\in A,&&0\leq t\leq 1/2,\\(p,2t-1)&\in B,&&1/2\leq t\leq 1.\end{align*} $$
Произведением кос $\alpha$ и $\beta$ из одинакового числа нитей называется коса $\alpha\beta$, заданная произведением любых их геометрических представителей.
В общем случае умножение некоммутативно, т. е. $\alpha\beta$ может быть не равно $\beta\alpha$:
<aside> ❓ Почему эти две геометрические косы не изотопны?
</aside>
Но некоторые отдельные пары кос коммутируют:
Тривиальной геометрической косой из $n$ нитей называется геометрическая коса, нити которой являются прямыми отрезками, перпендикулярными основным плоскостям.
Тривиальной косой из $n$ нитей называется соответствующий ей класс эквивалентности.
Тривиальная коса обозначается символом $1$ или $1_n$. Её характеристическим свойством является то, что для любой косы $\beta$ выполняется цепочка равенств:
$$ \beta 1=1\beta =\beta. $$
Данная цепочка доказывается с помощью применения оптической иллюзии:
