Простые задачи

1. Пусть коса $\beta \in B_n$ может быть записана артиновским словом, в которое не входят образующие $\sigma_{n-1}$ и $\sigma_{n-1}^{-1}$. Схематично изобразите и упростите косу

$$ (\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{n-1}) \beta (\sigma_{n-1}^{-1}\sigma_{n-2}^{-1} \ldots \sigma_{1}^{-1}). $$

1. Пусть коса $\beta \in B_n$ может быть записана артиновским словом, в которое не входят образующие $\sigma_1$ и $\sigma_1^{-1}$. Схематично изобразите косу

   $$ \alpha = (\sigma_1\sigma_2\ldots \sigma_{n-2}) \sigma_{n-1}^2 (\sigma_{n-2}\sigma_{n-3} \ldots \sigma_1) $$

   и объясните, почему $\alpha\beta = \beta\alpha$.

2. Распознайте геометрический смысл преобразования $\beta \mapsto \Delta_n\beta \Delta_n^{-1}.$

3. Докажите, что $(\sigma_{n-1} \sigma_{n-2} \ldots \sigma_1)^n=(\sigma_1\sigma_2 \ldots \sigma_{n-1})^n.$

4. Докажите, что любую косу из $n$ нитей можно представить в виде произведения следующих четырёх: $\sigma_1,\ \sigma_1^{-1},\ (\sigma_{n-1} \sigma_{n-2} \ldots \sigma_1),\ (\sigma_{n-1} \sigma_{n-2} \ldots \sigma_1)^{-1}.$

5. Докажите, что для любой крашеной косы $\beta \in P_n$ следующие условия эквивалентны:

   1. при удалении из косы $\beta$ последней нити получается тривиальная коса: $d_n(\beta)=1;$
   2. $\beta$ имеет геометрического представителя, у которого первые $n-1$ нитей — прямые.

6. Представьте косу $\Delta_n^2$ в причёсанной нормальной форме.

7. Представьте косу $\sigma_2\sigma_1\sigma_3\sigma_2^2\sigma_1\sigma_3\sigma_2\sigma_1^2\sigma_3 \in B_4$ в жадной нормальной форме.

8. Положим $\alpha \leq_+ \beta,$ если $\alpha^{-1}\beta$ — положительная коса. Докажите, что бинарное отношение $\leq_+$ задаёт частичный порядок на множестве $B_n,$ то есть рефлексивно, антисимметрично и транзитивно.

9. Докажите, что функция $\tau_\beta,$ фигурирующая в определении простейшей (трёхцветной) версии представления Бурау, корректно определена.

Задачи посложнее

1. Предложите способ, как для каждого $n \geq 3$ построить какую-нибудь нетривиальную бруннову косу из $n$ нитей.

Причёсанная нормальная форма

Крашеная коса $\beta \in P_n$ называется $n-$брунновой, если при удалении из неё последней нити получается тривиальная коса: $d_n(\beta)=1.$

1. Докажите, что любая крашеная коса $\beta \in P_n$ представляется в виде $\beta = \beta_n \gamma,$ где коса $\beta_n \in P_n$ является $n-$брунновой, а коса $\gamma \in P_n$ имеет геометрического представителя, у которого $n-$ая нить является прямой и не зацепляется за остальные нити (или, иными словами, коса $\gamma$ записывается в виде произведения образующих $\sigma_1^{\pm 1},\ldots,\sigma_{n-2}^{\pm 1}$).
2. Докажите, что представление из предыдущей задачи единственно: если существуют две пары $(\beta_n,\gamma)$ и $(\beta_n^\prime,\gamma^\prime)$ таких кос, то $\beta_n = \beta_n^\prime$ и $\gamma = \gamma^\prime.$
3. Докажите теорему Маркова — Ивановского — Артина о том, что каждую крашеную косу можно единственным образом представить в причесанной нормальной форме.

Разбор этой задачи: