Содержание раздела:
Классический подход к математическому определению косы состоит из двух шагов. Сначала вводятся определённые наборы кривых в трёхмерном пространстве, которые называются геометрическими косами. Затем на множестве всех геометрических кос вводится отношение эквивалентности, которое называется изотопностью и отвечает возможности преобразования одной геометрической косы в другую определёнными физическими манипуляциями нитей. По определению принимается, что эквивалентные геометрические косы представляют один и тот же математический объект — косу.
Дадим определение (непрерывной) кривой:
Определение. Кривой в $\R^3$ называется произвольная непрерывная функция
$$ f\colon [0,1] \to \R^3 $$
из отрезка в трёхмерное евклидово пространство.
<aside> 💡 Задать функцию вида $f \colon S \to \R^n$ означает задать $n$ функций $f_1,\ldots,f_n\colon S \to \R$ и положить $f(x) = (f_1(x),\ldots,f_n(x)).$ Функция $f$ непрерывна, если все $f_i$ таковы.
</aside>
Геометрическая коса представляет собой объект следующего сорта:
Геометрическая коса из 6 нитей
Для данного числа $n \in \{1,2,3,\ldots\}$ пусть в трёхмерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^3$ на двух параллельных плоскостях $\mathbb{R}^2\times \{0\}$ и $\mathbb{R}^2\times\{1\}$ отмечены по $n$ точек
$$ \{(k,0,0) \in \R^3 \mid k \in\{1,2,\ldots,n\}\}\ \\ \{(k,0,1) \in \R^3 \mid k \in\{1,2,\ldots,n\}\}, $$
расположенных друг напротив друга на двух параллельных прямых $\mathbb{R}\times\{0\}\times\{0\}$ и $\mathbb{R}\times\{0\}\times\{1\}$. Для краткости множество $\mathbb{R}^2\times[0,1]$, ограниченное плоскостями $\mathbb{R}^2\times \{0\}$ и $\mathbb{R}^2\times\{1\}$, называется объемлющим пространством, а сами плоскости — основными.
Геометрическая коса из 6 нитей с изображенной системой координат
Определение. Геометрической косой из $n$ нитей называется подмножество объемлющего пространства $\mathbb{R}^2\times[0,1]$, которое состоит из $n$ непересекающихся кривых и удовлетворяет следующим требованиям:
- концы этих кривых расположены в отмеченных точках;
- каждая плоскость, параллельная основным и находящаяся между ними, пересекает геометрическую косу по ровно $n$ точкам.
Данные кривые называются нитями геометрической косы.
Примеры геометрических кос из $3$ нитей:
Интуиция. Второе условие выше означает то, что нити идут «монотонно», то есть в длину вдоль прямой, перпендикулярной основным плоскостям. Его можно проиллюстрировать следующим образом:
Условие монотонности (осторожно: художник расположил концы нитей на окружности, а не прямой; да ещё и рисует косы вертикально…)
<aside> 💡 Неформально, геометрическая коса из $n$ нитей — это танец $n$ точек на плоскости.
</aside>