Содержание раздела:
Классический подход к математическому определению косы состоит из двух шагов. Сначала вводятся определённые наборы кривых в трёхмерном пространстве, которые называются геометрическими косами. Затем на множестве всех геометрических кос вводится отношение эквивалентности, которое называется изотопностью и отвечает возможности преобразования одной геометрической косы в другую определёнными физическими манипуляциями нитей. По определению принимается, что эквивалентные геометрические косы представляют один и тот же математический объект — косу.
Геометрическая коса представляет собой объект следующего сорта:
Геометрическая коса из 6 нитей
Для данного числа $n \in \{1,2,3,\ldots\}$ пусть в трёхмерном евклидовом пространстве $\mathbb{R}^3$ на двух параллельных плоскостях $\mathbb{R}^2\times \{0\}$ и $\mathbb{R}^2\times\{1\}$ отмечены по $n$ точек
$$ \{(k,0,0) \in \R^3 \mid k \in\{1,2,\ldots,n\}\}\ \\ \{(k,0,1) \in \R^3 \mid k \in\{1,2,\ldots,n\}\}, $$
расположенных друг напротив друга на двух параллельных прямых $\mathbb{R}\times\{0\}\times\{0\}$ и $\mathbb{R}\times\{0\}\times\{1\}$. Для краткости множество $\mathbb{R}^2\times[0,1]$, ограниченное плоскостями $\mathbb{R}^2\times \{0\}$ и $\mathbb{R}^2\times\{1\}$, называется объемлющим пространством, а сами плоскости — основными.
Геометрическая коса из 6 нитей с изображенной системой координат
Определение. Геометрической косой из $n$ нитей называется набор из $n$ непересекающихся кривых в объемлющем пространстве $\mathbb{R}^2\times[0,1],$ который удовлетворяет следующим требованиям:
- концы этих кривых расположены в отмеченных точках;
- каждая плоскость, параллельная основным и находящаяся между ними, пересекает геометрическую косу по ровно $n$ точкам.
Данные кривые называются нитями геометрической косы.
Примеры геометрических кос из $3$ нитей:
Интуитивно второе условие выше означает то, что нити идут «монотонно», то есть в длину вдоль прямой, перпендикулярной основным плоскостям. Такое условие позволяет воображать геометрическую косу из $n$ нитей танцем $n$ точек на плоскости:
Задача 1. Нарисуйте геометрическую косу из $4$ нитей, взяв верхнюю нить и перекрестив её через две средние нити, затем взяв нижнюю нить и перекрестив её через две средние нити, а затем повторив. Что будет, если заплести волосы таким образом?
В основе определения изотопности на множестве геометрических кос лежит концепция изотопии. Данные понятия не следует путать: первое — отношение эквивалентности, а второе — процесс. Так, геометрические косы изотопны, если существует изотопия, переводящая одну в другую.
По сути изотопия представляет собой определённое непрерывное шевеление нитей.