Операция $\sigma \leftrightarrow \sigma^{-1}$ замены в артиновском слове образующей Артина на обратную называется переключением перекрёстка. Она задаёт одноимённое преобразование кос, заключащееся в переключении перекрёстка в некотором артиновском слове косы.
Упражнение 1. Одну косу можно получить из другой конечной последовательностью переключений перекрёстка тогда и только тогда, когда их перестановки равны.
Пусть $m \in \N$. Операция $1 \leftrightarrow \sigma^m$ называется $m-$преобразованием. Она задаёт одноимённое преобразование кос, заключающееся в применении такой операции к некоторому артиновскому слову косы.
Упражнение 2. Одна коса получается из другой одним переключением перекрёстка тогда и только тогда, когда она получается из неё одним $2-$преобразованием.
Таким образом, $m-$преобразования обобщают переключение перекрёстка.
Для $n,m \in \N$ возможность превратить одну косу из $n$ нитей в другую $m-$преобразованием задаёт на множестве $B_n$ отношение эквивалентности, называющееся $m-$эквивалентностью.
Легко видеть, что для всех $m \in \N$ множество классов $m-$эквивалентности на $B_2$ конечно.
Проект. Опишите все такие $(n,m) \in \N\times\N,$ что существует лишь конечное количество классов $m-$эквивалентности.
Решение данной задачи известно. На языке теории групп она состоит в определении того, при каких $n,m \in\N$ конечна группа
$$ B_n(m) := \langle s_1, s_2, \ldots, s_{n-1} \mid {\color{red} s_i^m = 1}, \ 1 \leq i \leq n-1;\ \\\ \mkern{10.5em} s_i s_j = s_j s_i,\ \ |i - j| > 1; \\ \mkern{10.5em}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ s_i s_{i+1} s_i = s_{i+1} s_i s_{i+1}, 1 \le i \le n - 2\rangle. $$
Коса называется положительной, если она может быть записана артиновским словом, в которое не входят отрицательные образующие Артина $\sigma^{-1}$. Множество всех положительных кос из $n$ нитей обозначается символом $B_n^+$.
Упражнение 1. Докажите, что для любого $\beta \in B_n$ существуют такие $m \in \Z$ и $\alpha \in B_n^+$, что
$$ \beta = \Delta_n^m \alpha. $$
Пусть $L \subseteq B_n$ — некоторый класс кос. Коса $\beta \in B_n$ называется $L-$доминирующей, если для любой косы $\alpha \in B_n$ существует такое целое $m \in \Z$, что $\alpha \beta^m \in L.$ Иными словами, любую косу можно так домножить на некоторую степень косы $\beta$, что полученная коса попадёт в класс $L$. Класс кос $L$ называется доминирующим, если множество $L-$доминирующих кос непусто.
Упражнение 2. Является ли класс $P_n$ крашеных кос доминирующим?
Проект. Исследуйте различные классы кос на предмет доминирования и попробуйте описать соответствующие множества всех доминирующих кос, соответствующих таким классам.
Вот несколько идей для выбора классов кос: