Задачи

Результаты сдачи задач: ссылка.

Цветовая заливка:

Простые задачи для закрепления материала и самопроверки (решение короткое)

Простые задачи, в которых нужно придумать идею/применить некоторую деталь

Задачи посложнее для закрепления материала и самопроверки (решение короткое)

Задачи посложнее, в которых нужно придумать идею/применить некоторую деталь

§1 Определение косы

1. Нарисуйте геометрическую косу из $4$ нитей, взяв верхнюю нить и перекрестив её через две средние нити, затем взяв нижнюю нить и перекрестив её через две средние нити, а затем повторив. Что будет, если заплести волосы таким образом?
2. Постройте изотопию между следующей геометрической косой и такой, в которой каждая нить является прямым отрезком.

§2 Группа кос

1. Постройте изотопию между двумя следующими геометрическими косами.

§3 Операции над косами

1. Понять, является ли автоморфизм $\tau_n$ внутренним.
2. Брунновы косы образуют нормальную подгруппу группы кос: ${\rm Brunn}_n \trianglelefteq B_n.$
3. Пусть $n \geq 3.$
   1. Предложите способ, как построить нетривиальную бруннову косу из $n$ нитей.
   2. Докажите, что построенная вами бруннова коса нетривиальна.

§4 Теорема Артина о задании группы кос

1. Пусть коса $\beta \in B_n$ может быть записана артиновским словом, в которое не входят образующие $\sigma_{n-1}$ и $\sigma_{n-1}^{-1}.$ Схематично изобразите и упростите косу

   $$ (\sigma_{1} \sigma_{2} \ldots \sigma_{n-1}) \beta (\sigma_{n-1}^{-1}\sigma_{n-2}^{-1} \ldots \sigma_{1}^{-1}). $$