Изложить школьникам или младшекурсникам продвинутые аспекты топологии — довольно непростая задача. Дело в том, что несмотря на всю её наглядность, изучение топологии сопряжено со множеством нетривиальных технических моментов.
Правильное решение состоит в том, чтобы при первом знакомстве игнорировать такие технические моменты и концентрироваться на основных идеях и принципах, сохраняя плавность переходов в математических рассуждениях.
В нашем курсе отсутствие подробных обоснований в тех или иных переходах означает не то, что они нестрогие, а лишь то, что те базовые знания, которые необходимы для интерпретации наших рассуждений как строгих, могут быть неизвестны вам, нашим слушателям и читателям.
В традиционной системе школьного и университетского математического образования учащиеся сначала долгое время привыкают к таким топологическим концепциям, как непрерывность, язык эпсилон-дельта, сходимость и прочим, а затем всё равно возвращаются к наглядным изображениям, но уже на новом уровне понимания.
В конце концов, любые наглядные корректные рассуждения могут быть грамотными математиками переведены на формальный язык, а формализация служит лишь для обоснования того, что интуитивно и так понятно.
Когда говорят о наглядной топологии, в первую очередь имеют в виду маломерную топологию, которая сосредоточена вокруг изучения своих четырёх основных стихий:
Уверенное знакомство с этими ключевыми понятиями, вокруг которых и построен наш курс (именно в таком порядке), задаёт прочную основу вашего изучения топологии.
Как показывает схема, данные понятия действительно тесно связаны, а поведать, в чём именно состоят данные связи, — это одна из наших основных целей.
<aside> ➡️ Маломерная топология изучает многообразия и их непрерывные отображения и сосредоточена вокруг размерностей $0, 1,2,3$ и $4.$
</aside>
К схеме выше можно добавить следующую надстройку (pun intended):
Маломерная топология — уникальный раздел математики, в котором равноправно соседствуют и дополняют друг друга формальный алгебраический подход и эффективные методы визуализации. Мы расскажем вам набор взаимосвязанных сюжетов, наблюдение за которыми позволит вам прикоснуться к проявлениям и того и другого.
Во многом маломерная топология — это мир картинок, изображений, движения. Наш курс ориентирован на то, чтобы в первую очередь показать вам, как можно мыслить топологически.
Для прохождения курса вам потребуется пространственное воображение. Подробности: